Рубрики
Информатика

Решение логических задач с помощью диаграмм Льюиса Кэрролла

Решение логических задач включено в школьную программу информатики и зачастую представляет множество трудностей для школьников, которые до этого не были знакомы с базовыми элементами логики. Представляется, что в ряде случаев можно как на уроке информатики в рамках углубленного курса, так и на занятиях дополнительного образования использовать графический метод решения логических задач по типу силлогизмов, который был разработан Л. Кэрроллом.

0

Свиязова Наталья Валерьевна,

учитель математики и информатики

ГБОУ Школа № 2120

г. Москва

Введение

Решение логических задач включено в школьную программу информатики и зачастую представляет множество трудностей для школьников, которые до этого не были знакомы с базовыми элементами логики. В силу ограниченного числа уроков по информатики невозможно уделить повышенное внимание этому разделу информатики, однако умение рассуждать логически необходимо ребятам в течение всей жизни. Иногда для понимания основ логики школьнику приходится потратить больше времени на изучение логических законов или найти определенный способ, чтобы упростить решение логических задач. В классическом школьном курсе информатики мы используем таблицы истинности, однако это не единственный способ решения логических задач, тем более, он может быть непонятен всем школьникам. Представляется, что в ряде случаев можно как на уроке информатики в рамках углубленного курса, так и на занятиях дополнительного образования использовать графический метод решения логических задач по типу силлогизмов, который был разработан Л. Кэрроллом.

Льюис Кэрролл знаком большинству наших современников по произведению «Алиса в стране чудес». Однако, прежде всего, Л. Кэрролл был математиком: он занимался логикой, разработал графический и символический методы решения логических задач, придумал прообраз таблиц истинности и многие другие инструменты, которые используются до сих пор. Зачастую его логические задачи были абсурдными, но в этом и заключается особенность подхода автора: применять логические законы в чистом виде, не прибегая к здравому смыслу или интуиции. Умение правильно рассуждать как раз и состоит в том, что мы можем работать с суждениями вне зависимости от их априорной истинности и оперировать даже с заведомо неправильными суждениями.

В данной статье мы разберем метод Л. Кэрролла, который поможет работать с силлогизмами (видом рассуждения, когда мы делаем вывод из двух посылок, связанных между собой). Этот метод основан на расставлении «фишек», которые по сути представляют собой нули и единицы в привычных нам таблицах истинности. Л. Кэрролл придумал этот способ, чтобы сделать решение логических задач по типу силлогизмов более наглядным и увлекательным для студентов. Метод представляет определенную трудность в освоении, однако при понимании материала обучающийся может использовать его и не допускать логические ошибки.

Двухбуквенная диаграмма

Предположим, что у нас есть некая общность предметов, например, чашек. Также предположим, что среди этих чашек есть как старые, так и новые экземпляры. То есть, у нас выявляются два класса предметов: «старые чашки» и «новые чашки». Введем другую характеристику предмета: производитель. Условно разделим чашки на фарфоровые и керамические (в нашей условной задаче на данном этапе необходимо не более двух противоположных характеристик).  Так у нас появилось ещё два класса предметов: «фарфоровые чашки» и «керамические чашки». Однако мы понимаем, что чашка может быть, например, одновременно и фарфоровой, и старой или и старой, и керамической, то есть, эти классы в теории могут пересекаться. Распределим эти классы по клеткам условной диаграммы (Таблица 1).

Попробуем представить такую диаграмму в более обобщенном виде. Мы выделили некоторые особенности у наших предметов, которые поделили всю общность предметов на классы с видовыми отличиями, условно противоположными признаками, которые можно обозначить как х и не-х или у и не-у. Пусть, например, х будет обозначать «старые», а х’ – «новые». Видовое отличие по материалу мы обозначим следующим образом: пусть у – «фарфоровые», а y’ – «керамические». Теперь перенесём эти условные обозначения подклассов в диаграмму (Таблица 2).

И приведем её к обобщенному виду (Таблица 3).

Очевидно, что на всей диаграмме представлен общий класс предметов – чашки, а когда мы говорим об «х-предметах», мы понимаем «предметы» в смысле той особой разновидности предметов, для которой предназначена вся диаграмма. Такая диаграмма подходит и для других предметов, нам лишь нужно определить у них две особенности, которые дадут им видовые отличия, распределив их таким образом на четыре условных подкласса.

Трёхбуквенная диаграмма

Прежде чем работать с силлогизмами, необходимо освоить трёхбуквенные диаграммы. Добавим ещё одну особенность чашек: чистота. Чашки будут делиться на ещё два класса – «грязные» и «чистые». Л. Кэрролл предлагает в таком случае оставить двухбуквенную диаграмму и добавить к ней внешний квадрат (Таблица 4).

Такой диаграммой удобно пользоваться, поскольку классы логично расположены на ней, например, мы легко можем вычленить на диаграмме только «грязные керамические чашки», не принимая во внимание, насколько они новы (Таблица 5).

Обозначим третье видовое отличие (в нашем случае – чистоту) как m и m’, пусть m – «чистые», а m’ – «грязные». Приведем таблицу к общему виду (Таблица 6).

Представление суждений на диаграмме с использованием метода двухцветных «фишек»

От построения диаграммы перейдём к следующему этапу – представлению суждений на ней. В силлогизмах логические суждения могут представать, например, в следующем виде:

Некоторые керамические чашки грязные.

Ни одна чистая чашка не керамическая.

Попробуем представить их в буквенном виде, используя буквы, которые мы присвоили характеристикам в предыдущих разделах:

Некоторые керамические чашки грязные   ˃ Некоторые y’ суть m’   ˃   Некоторые y’m’ существуют.

Слово «суть» используется для удобства в логических рассуждениях, оно может означать, что какой-либо объект либо обладает определенным свойством, либо совершает определенное действие или принадлежит к определенной категории.

Ни одна чистая чашка не керамическая   ˃  Ни один m не есть y’  ˃  Ни один y’m не существует и т.д.

Другой важный приём, который нам необходим, – разложение логического суждения на два, например:

Все керамические чашки грязные.  ˃  Все y’ суть m’.

С точки зрения логики, это суждение подразумевает, что ни одна керамическая чашка не чистая. Получается, что утверждение Ни один y’ суть m. – верно.

Но в вышеуказанном суждении содержится ещё одно утверждение, которое также не противоречит ему: Некоторые y’суть m’.

То есть, если мы скажем, что некоторые керамические чашки грязные, будет ли это правдивое утверждение? Да, но только при непременном условии: Ни один y’ суть m., то есть, ни одна керамическая чашка не чистая.  То есть, с точки зрения логики, суждение Все керамические чашки грязные˃ Все y’ суть m’. Можно представить в виде двух суждений:

Некоторые y’суть m’.

Ни один y’ суть m.

Подчеркнём вновь, что первое утверждение правдиво только при наличии второго. Если мы скажем «некоторые керамические чашки грязные», можно подумать, что некоторые могут быть и чистыми, а это противоречит первому утверждению.

Это разложение на два утверждения помогает нам работать с трёхбуквенными диаграммами, то есть мы сможем заполнить большее количество ячеек.

Рассмотрим два утверждения:

Ни один мой сын не мошенник.

К честному человеку всегда относятся с уважением.

Присвоим характеристикам буквенные значения, пусть:

 m – честные люди, тогда m’ — мошенники (то есть, нечестные люди).

x – мои сыновья, тогда x’ – другие люди

у – те, кого уважают, y’ – те, кого не уважают

Вставим эти буквенные значения в утверждения:

Ни один х не есть m’.

Все m суть у.

Из второго утверждения следует (рассмотрено выше):

Некоторые m суть у.

Ни один m не есть y’.

Составим диаграмму по методу Л. Кэрролла (Таблица 7).

Разместим на ней зеленые и черные «фишки», которые будут соответствовать тому, существуют ли такие множества или нет (зеленые «фишки» означают, что такое множество есть, чёрные – что такого множества нет) (Таблица 8).

Необходимо подробнее остановиться на том, почему зелёная «фишка» не сразу занимает два квадрата в этом случае, а встаёт на границу двух ячеек. Дело в том, что, вероятно, в одной из этих ячеек находится несуществующий подкласс, что не противоречит утверждению «Некоторые m суть х». Поэтому мы, понимая это, размещаем «фишку» на границе, тем самым уберегая себя от поспешного вывода.

Иногда при утверждении типа «Некоторые m суть у» зелёная «фишка» может сразу занять определенную ячейку из двух, если другая уже занята чёрной, то есть, у нас нет сомнений, куда поставить зелёную.

В правом верхнем квадрате в обоих подклассах стоят чёрные «фишки», это означает, что множества xy’m’, ни xy’m не существуют, то есть, нет множества xy’. Из двух утверждений мы можем сделать вывод:

Ни один мой сын не мошенник.

К честному человеку всегда относятся с уважением.

Ни к одному моему сыну не относятся без уважения. (Множества xy’ не существует).

Данную трёхбуквенную диаграмму можно для наглядности перенести на двухбуквенную, помня о следующем: две ячейки соответствуют сразу двум ячейкам на трёхбуквенной диаграмме (Таблица 9).

Мы разобрали метод диаграмм Л. Кэрролла на примере, в котором можно руководствоваться здравым смыслом и бытовой логикой, теперь же обратимся к нестандартным примерам, в которых вызывает сомнение истинность посылок, чтобы мы смогли применить исключительно законы формальной логики.

Пример 1:

Все шляпники сумасшедшие.

Все шляпники любят пить чай.

Присвоим подклассам буквенные обозначения:

m – шляпники x – сумасшедшие y – любители чая

m’ – остальные люди, не шляпники, x’– не сумасшедшие, y’ – те, кто не любит чай.

Все m суть х.  ˃  Ни один m не есть x’. + Некоторые m суть x.

Все m суть y.  ˃  Ни один m не есть y’. + Некоторые m суть у.

Перенесём утверждения на диаграмму (Таблица 10).

Перенесём трёхбуквенную диаграмму на двухбуквенную (Таблица 11).

Исходя из этих диаграмм мы можем сделать вывод: некоторые x суть у. То есть:

Некоторые сумасшедшие любят пить чай.

Этот пример может показаться не слишком сложным, однако нам необходимы вдумчивость и внимательность в рассуждении, чтобы не попасть в ловушку в более сложных случаях. Поэтому необходимо сначала обратиться к простым задачам.

Пример 2.

  1. Ни одной карте, которая не хочет получить нагоняй от Королевы, и которая не может посадить куст розы красного цвета, и которая не имеет красной краски, чтобы перекрасить розы, не миновать виселицы.
  2. Эти карты не хотят получить нагоняй от Королевы, у них нет кустов красных роз, но у них есть достаточно красной краски.

На первый взгляд, вывод, который можно сделать на основе этих суждений, следующий:

Эти карты избегут виселицы.

Однако попробуем разложить эти утверждения на диаграмме:

Пусть никто не хочет получить нагоняй от королевы и ни у кого нет кустов красных роз. m – те, у кого есть красная краска, x – те, кто не минует виселицы, y – эти карты.

Пусть m’ – те, у кого нет красной краски, x’ – те, кто не будет повешен, y’ – другие живые существа\другие карты (в нашем случае это не имеет значения).

Ни один m’ не есть x’. (Если нет красной краски – виселицы не избежать (поскольку в нашем случае кустов красных роз ни у кого нет))

Все у суть m. (У всех наших карт есть красная краска) ˃ Некоторые у суть m. + Ни один y не есть m’.

Увидим, что мы не можем сделать никакого однозначного вывода по этой диаграмме: её производная двухбуквенная диаграмма была бы пустой, поскольку есть пустые ячейки, а зеленая «фишка» находится на границе. Кажется, что это противоречит здравому смыслу: ведь наверняка карты, у которых была краска, покрасили розы и избежали наказания. Но это не так: их могли повесить за другой проступок, они могли не успеть покрасить розы, пролить краску и т.д. Так упорядоченность логического рассуждения уберегла нас от поспешного вывода.

Заключение

Метод Л. Кэрролла очень интересен в рамках изучения логики на дополнительных занятиях по информатике. Его освоение само по себе стимулирует развитие логического мышления. Метод также будет небезынтересен участникам школьных олимпиад по математике и информатики, поскольку даёт им возможность нетривиально подойти к решению задач, ведь олимпиады подразумевают выход за рамки школьной программы. Графический метод представления и работа с упрощенными логическими формулами делает способ максимально гибким и уместным для решения силлогизмов любого содержания.

 

 

Список использованной литературы и источников

  1. Приключения Алисы в стране чудес, Льюис Кэрролл; Пер. с англ. Н.М.Демуровой ̶  М.: Наука, 1991
  2. Символическая логика, или Безупречная бессмыслица: Сборник / Льюис Кэрролл; Пер. с англ. Ю.А.Данилова; Под ред. Я.А. Смородинского. ̶ М.: Лекстор, 2017

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

0