Функции и их графики изучаются в курсе алгебры, начиная с 7 класса. И, казалось бы, такой простой тип заданий, как задания на распознавание, с приходом ОГЭ не должен вызывать много трудностей у учеников. Однако, по статистике, выпускники 9 классов справляются с этими заданиями далеко не так успешно, как хотелось бы. Речь идет о номере 5 части «Алгебра» из ОГЭ.
Причины возникновения затруднений мы увидели в том, что каждая функция в курсе алгебры с 7 по 9 класс изучается отдельно, с большими временными перерывами между темами. И нет объединяющей линии, позволяющей рассматривать задания на нахождение связи между коэффициентами формул и видом графика, как метапредметное умение. Если проанализировать банк заданий по данной теме, мы увидим некоторую закономерность. Вне зависимости от вида функции и буквенного обозначения, коэффициенты несут одинаковую смысловую нагрузку. Так, например, свободный член в формуле отвечает за пересечение графика с осью у, а старший коэффициент за монотонность функции.
Чтобы красной линией провести работу с коэффициентами различных функций через весь курс алгебры до ОГЭ, мы разработали цикл уроков-проектов, идущих под одним названием «Азбука графиков». Каждый ученик на таком уроке проходит практически через все ступени абстрактно-логического метода научного исследования.
Абстрактно-логический метод исследования, приобретающий с развитием науки все большее значение, включает следующую совокупность научных приемов: индукции и дедукции, анализа и синтеза, аналогии, сопоставлений, системно-структурный прием, формализации, моделирования, прогнозирования. Подробнее о методах научного познания можно прочитать по ссылке, а о том, как абстрактно-логический метод исследования реализуется на уроке, рассмотрим подробно в одной из таблиц.
Цикл уроков «Азбука графиков в 7-9 классах включает следующие темы:
1. «Линейная функция (начало 7 класса)»;
2. «Квадратичная функция вида у = (х – m)² + n (конец 7 класса, тема расширена специально под данный цикл уроков)»;
3. «Функция у=√х (8 класс)»;
4. «Функция у = ΙхΙ (8 класс)»;
5. «Функция у = к/х (8 класс)»;
6. «Квадратичная функция вида у = ах2+bx+c (8 класс)»;
7. «Степенная функция (9 класс)».
Каждый такой урок состоит из трех ступеней, на которых деятельность учеников в корне различна. На первой ступени ученик строит несколько (количество зависит от работоспособности ученика и сложности функции) графиков функции с различными коэффициентами. На второй ступени в группе учеников классифицируются построенные графики, в зависимости от их вида, и собирается банк графиков в виде одной большой таблицы на класс. На третьей ступени ученик заполняет индивидуальную азбуку, в которой по виду графика он дает сравнительную характеристику коэффициентам функции.
Остановимся подробно на плане подготовки урока «Азбука графиков».
1. Работа по подготовке к уроку-проекту начинается с формулировки задания для групп. Пример такого задания для урока «Азбука графиков»:
Задание для групп
Заполнить «Азбуку графиков», установив связи между коэффициентами в формуле функции и видом её графика.
Инструкция
Для этого вам потребуется: распределить роли в группе; распределить каждому по одной функции с карточки, обращая внимание на уровень сложности. В тетради каждый пишет название функции, составляет таблицу для 2 точек, чертит систему координат с названием осей х и у, строит график, выписывает коэффициенты m и к. Контролер проверяет правильность заполнения таблицы и построения графиков. Каждый переносит свой график и формулу на маленький листочек по образцу. Листочек расположить горизонтально! Выложить все начерченные графики в центр стола. Определить по знаку коэффициентов в формуле, в какую часть плаката приклеить график. Приклеить график на плакат. Заполнить все колонки в «Азбуке графиков». Руководитель по эталону проверяет правильность заполнения «Азбуки графиков». Для домашнего задания взять карточку с «Банком функций» и доделать оставшиеся графики. Записать название функции, графика, выписать коэффициенты m и к.
2. Создается лист планирования и продвижения по заданию, который заполняет руководитель группы. Образец листа планирования и продвижения по заданию:
Лист планирования и продвижения по заданию
группы №________ 7 класса «____»
| Дата: | |||
| Тема урока | |||
|
Распределение ролей: |
Руководитель: | ||
| Контролер: | |||
| Советник: | |||
| Докладчик: | |||
| Цель урока: | |||
| Гипотеза: | |||
| План урока: | Отметка о выполнении плана | ||
3. Создается оценочный лист.
Лист оценивания
Число:____________________Группа:_№______________Класс____________
Тема:______________________________________________________________
| № | Список группы | Роли | Баллы за 1 график | Баллы за роль в группе |
Баллы за «Азбуку» |
Всего баллов | Оценка |
| 2-5 | 1-3 | 0-5 | 13 | ||||
| 1 | |||||||
| 2 | |||||||
| 3 | |||||||
| 4 | |||||||
| 5 |
Критерии баллов за графики:
«5» – полностью правильно и самостоятельно заполнена таблица и построен график.
«4» – в самом начале получена подсказка, как надо делать, затем задание выполнено самостоятельно.
«3» – была вычислительная ошибка в таблице.
«2» – постоянно оказывалась помощь при заполнении таблицы и построении графика.
Критерии баллов за «Азбуку»:
«5» – правильно и самостоятельно определил все коэффициенты в «Азбуке графиков».
«4» – допущены 1–2 ошибки при определении коэффициентов в «Азбуке графиков».
«3» – допущены 3–4 ошибки при определении коэффициентов в «Азбуке графиков» «2» – постоянно пользовался помощью соседей.
«1» – коэффициенты не определены, но записаны формулы (или наоборот).
«0» – коэффициенты не определены, формулы не записаны.
Критерии баллов за «Роль»:
«3» – успешно выполнены все функции по роли от начала до конца работы.
«2» – есть замечания по работе.
«1» – роль выполнена неудачно.
4. Учитель создает банк функций, графики которых будут строить дети на уроке.
Пример такого банка для урока «Азбука графиков линейной функции»:
| 1 группа | 2 группа | 3 группа | 4 группа |
| у=2х+3 | у=3х+2 | у=х+4 | у=4х+1 |
| у= –2х+3 | у= –3х+2 | у= –х+4 | у= –4х+1 |
| у=2х–3 | у= –3х-2 | у=х–4 | у= –4х-1 |
| у= –2х | у=3х | у= –х | у=4х |
| у= 3 | у= –2 | у=4 | у= –1 |
Банк функций включает в себя различные сочетания коэффициентов в формулах, что позволит потом собрать разнообразную коллекцию графиков.
Функций в банке может быть меньше или больше, в зависимости от количества учеников в классе и их работоспособности, а также от времени, выделенного на данный проект.
5. Создается, распечатывается и склеивается большая таблица для банка функций.
Пример такой таблицы для урока «Азбука графиков линейной функции»:
| Банк графиков линейной функции y = kx + m | |||
| m = 0 | m ˃ 0 | m ˂ 0 | |
|
k = 0 |
|||
|
k ˃ 0 |
|||
|
k ˂ 0 |
|||
6. Необходимо приготовить маленькие листочки в клетку, размером с четверть тетрадного листа. На них каждый ученик будет строить свой график и приклеивать его к общей таблице банка.
На фотографии представлено, как выглядит готовый банк графиков на примере темы «Функция у = IxI»:
7. Создается таблица самой азбуки графиков, которая выдается каждому ученику. Пример: см. ссылку.
8. Создается эталон заполненной азбуки графиков для проверки руководителем по итогу урока. Пример: см. ссылку.
План проведения урока «Азбука графиков»
1. Класс разбивается на группы так, чтобы в одной группе было от 4 до 6 человек (группа более 6 и менее 4 участников малопродуктивна), причем в каждой группе должны быть ученики, способные выполнять функции руководителя, контролера, советника и докладчика.
Функционал участников группы
Руководитель – координирует работу группы, отвечает за составление плана работы и следование этому плану, заполняет отчеты (лист планирования и продвижения по заданию), следит за временными рамками, оценивает правильность заполнения «Азбуки графиков» по эталону и выполнение роли в группе (а группа оценивает выполнение роли руководителем).
Контролер – контролирует полноценную работу каждого участника группы, следит за записями и другими видами работы участников группы. Проверяет правильность построенных графиков (если необходимо помогает исправить) и оценивает их. Собирает и сдает все нужные бумаги (тетради) в конце занятия.
Советник – может обратиться за помощью к преподавателю или участникам других групп. Приводит в порядок рабочий стол группы.
Докладчик – отвечает за теоретический материал. По результатам общих обсуждений в группе и сделанных выводов готовит доклад. Представляет проект.
9. Учитель выдает пакет документов, в который входят:
– Задание для групп.
– Банк функций.
– Лист планирования и продвижения по заданию.
– Лист оценивания.
– Листочки для построения графиков.
– Листы «Азбука графиков».
– Учащиеся знакомятся с заданием. Обсуждают и формулируют цель и задачи урока.
Формулируют гипотезы о связи вида графиков и коэффициентов функции. Руководитель начинает заполнять лист планирования и продвижения по заданию.
1. Руководитель раздает задания из банка функций и участники группы приступают к построению графиков в тетради.
2. Контролер проверяет правильность построенных графиков, оценивает их и разрешает переносить график на листочек в клетку по образцу в задании. Руководитель следит за временем и подгоняет отстающих.
3. Когда все графики проверены и перенесены на листочки по образцу, они выкладываются в центр стола, и группа приступает к их обсуждению, в результате которого учащиеся делают первичные выводы о зависимости вида графика от коэффициентов функции и решают в какую ячейку на плакате «Банка графиков» разместить свои чертежи.
4. Когда ученик подходит к таблице «Банка графиков», и ищет место для своего чертежа он может обнаружить, что его график не соответствует виду формулы (проанализировав другие чертежи) или не понимает куда его разместить. В этот момент у ученика есть возможность исправить свою ошибку и получить консультацию у одноклассников.
5. Когда плакат «Банк графиков» заполнен полностью учащиеся приступают к сводному анализу, по результатам которого заполняется «Азбука графиков». На этом этапе происходит совместное обсуждение основных закономерностей, выявляются раннее допущенные ошибки в гипотезах первичного обсуждения.
6. После совместного обсуждения участники групп приступают к заполнению листов «Азбуки графиков», в которой по виду графика восстанавливают название функции, и знаки коэффициентов к и т. Руководитель по эталону, предоставленному учителем, проверяет правильность заполнения «Азбуки» и выставляет оценки в оценочный лист.
7. По результатам общих обсуждений в группе и сделанных выводов докладчик готовит речь и проводит защиту проекта.
8. Учитель подводит итоги и дает краткую оценку работы групп.
9. На следующем уроке целесообразно провести проверочную работу по данной теме. Пример проверочной работы:
На рисунках изображены графики функции вида у=кх+т. Установите соответствие между графиками и коэффициентами к и т.
1) к˃0, т˃0;
2) к˂0, т=0;
3) к˂0, т˂0;
4) к˃0, т˂0.
Аналогичные задания можно найти в сборнике подготовки к ОГЭ.
План проведения урока с примерами на основе темы «Линейная функция»
| Номер этапа | Название этапа | Что делает учитель | Что делают ученики |
| 1 | Организационный | Выдает пакет документов группам | Распределяют роли в группе |
| 2 | Знакомство с заданием | Читают задание для групп | |
| 3 | Целеполагание и планирование | Направляет и корректирует | Формулируют цель и задачи |
| 4 | Построение графиков | Контактирует с советниками по необходимости | Строят графики в тетради и после проверки контролером переносят на листочек в клетку по образцу |
| 5 | Первичный анализ зависимости вида графика от коэффициентов | Контактирует с советниками по необходимости | Просматривают все графики, полученные в группе, и совместно решают, где разместится каждый график на плакате «Банк графиков». Приклеивают листочки с графиками в нужную ячейку плаката. |
| 6 | Сводный анализ | По заполненному плакату «Банк графиков линейной функции» в результате совместных обсуждений, делают окончательный вывод о влиянии коэффициентов к и т на вид графика ( на монотонность, на угол наклона с положительным направлением оси Ох, на точку пересечения с осью Оу. | |
| 7 | Рефлексия 1 | В конце этапа выдает руководителю группы эталон для проверки правильности заполнения «Азбуки графиков» | Заполняют «Азбуку графиков» в которой по виду графика восстанавливают формулу функции, название функции, знак коэффициентов к и т, либо их отсутствие. |
| 8 | Рефлексия 2. Защита проекта | Руководит прениями, задает вопросы для уточнения, высказывает свое мнение о качестве проделанной работы. | Докладчик озвучивает выводы группы о влиянии коэффициентов функции на вид её графика и предполагает наличие аналогичных зависимостей у других функций. |
Сопоставление этапов урока с научными приемами абстрактно-логического метода исследования
| Номер этапа | Название этапа | Название приема | Определение приема |
| 1 | Организа-ционный | ||
| 2 | Знакомство с заданием | Гипотеза | Гипотеза— положение, выдвигаемое в качестве предварительного, условного объяснения некоторого явления. |
| 3 | Целепо-лагание и плани-рование | ||
| 4 | Построе-ние графиков | ||
| 5 | Первичный анализ зависимости вида графика от коэффициентов | Анализ и синтез, сопоставление, аналогия |
Анализ — представляет собой мысленное разложение или расчленение процессов на составляющие части, элементы с целью определения их места, роли и функций в целом объекте и установления взаимосвязи и взаимозависимости между ними. Анализ — это сложный исследовательский процесс, включающий не только изучение сущности явлений и закономерностей их развития, но и использование полученных выводов в практике. Синтез — это мысленное составление целостного объекта из его частей. Анализ и синтез выступают в аналитическом процессе в их единстве. Без анализа нет синтеза, как синтеза без анализа. Вместе взятые они служат мощным средством познания. Аналитические материалы помогают вскрыть не только поверхностные явления, внутреннюю структуру объекта, но и вскрыть глубинные процессы, дать развернутую характеристику объекта явления. Сопоставление — это прием, при котором выявляются различия во вновь сформулированных категориях с ранее установленными. Аналогия — это прием научного познания, когда на основе сходства двух или нескольких признаков изучаемого явления делается вывод о сходстве других признаков и свойств. Для повышения достоверности выводов необходимо, чтобы аналогия базировалась на большом количестве существенных общих признаков и связи между ними были довольно тесными. Установление взаимосвязи с помощью приема аналогии требует дополнительной проверки в общественной практике (с помощью логических выводов или специального опыта). |
| 6 | Итоговый анализ | Индукция | Индукция (наведение) представляет собой способ изучения явления, в процессе которого от отдельных фактов, единичных случаев совершается переход к общим положениям, к обобщениям и утверждениям. При таком логическом умозаключении отдельные факты как бы наводят на общее положение. |
| 7 | Рефлексия 1 | Сопоставление, формализация, дедукция |
Сопоставление — это прием, при котором выявляются различия во вновь сформулированных категориях с ранее установленными. Формализация. Суть этого приема состоит в том, что при изучении исследователь отвлекается от конкретного содержания изучаемых явлений, рассматривает их в правильном общем виде, исходя из законов диалектической логики. Поэтому обобщенная сущность явления всегда представляет собой определенный уровень формализации. Из существа этого приема вытекает использование при научных разработках логических выводов и обоснований, различных схем, формул, символики, абстрактно-логико-математических и знаковых моделей и т.д. Дедукция — логическое умозаключение на основе перехода от общих суждений (доказательств) к частным. |
| 8 | Рефлексия 2. Защита проекта | Моделирование, прогнозирование |
Моделирование — это прием научной абстракции, при котором на основании проведенного системно-структурного анализа формируется модель, которая отражает математическую закономерность в целом со всеми свойствами и взаимосвязями. Прогнозирование — это аргументированное представление о возможных путях развития изучаемого явления. |
В заключении хочется сказать, что значительные затраты учителя на подготовку и проведение таких уроков окупаются тем, что каждый ученик создает для себя целостную картину о взаимосвязи коэффициентов различных функций и видом их графиков, глубоко погружается в данную тему, проходит хорошую школу абстрактно-логического метода исследования. А также, такие глобальные системы уроков активизируют память, внимание, абстрактное мышление. А если говорить о развитии метапредметных умений на таких уроках, то можно написать ещё одну статью.
Мнение редакции может не совпадать с мнением авторов.