10 февраля 2016

Бокарёва О.С., Смирнова Т.Ю. Решение химических задач оптимальными математическими методами

Бокарёва Ольга Сергеевна,
учитель математики
ГБОУ г. Москвы «Школа № 2083»,
Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.
 
Смирнова Татьяна Юрьевна,
учитель математики
ГБОУ г. Москвы «Школа № 2083»,
Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

 

В работе мы предлагаем, на наш взгляд, наиболее оптимальный алгоритм решения задач на смеси и сплавы, изначально приведенный в трудах Карла Пирсона.

Карл (Чарльз) Пирсон (1857–1936), выдающийся английский математик, статистик, биолог и философ; основатель математической статистики. Разработал теорию корреляции, тесты математической статистики и критерии согласия. С его именем связаны: кривые Пирсона, распределение Пирсона и другие.

Из школьного курса математики обучающимся известны следующие определение и формула для нахождения концентрации вещества.

Концентрация вещества в смеси (сплаве) – это часть, которую составляет масса вещества от массы смеси (сплава).

Предлагаем вашему вниманию решение одной и той же задачи на смеси и сплавы классическим способом и с применением алгоритма Пирсона.

Задача 1. Первый сплав содержит 10 % меди, второй – 40 % меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30 % меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Решение задачи табличным методом.

Составим и решим уравнение:

0,1х + 0,4y= 0,3 (x+ y)

0,1х + 0,4у = 0,3х + 0,3у

0,1у = 0,2х

x / y = 2 / 1

у = 2х

По условию задачи масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Получим пропорцию:

x / x + 3 = 1 / 2

Ответ: 9 кг.

Метод Пирсона

В этой схеме а и b – концентрации исходных растворов, с – требуемая концентрация вещества, а <крест-накрест> – записаны их разности (b – с) и (с – а), соответствующие отношению масс растворов а и b.

Решение задачи 1 с помощью Креста Пирсона

Пусть х – коэффициент пропорциональности, тогда получим уравнение:

2х – 1х = 3

х = 3

1. 3 + 2  3 = 9 (кг)

Ответ: 9 кг.

Задача 2. Предложенный алгоритм рассуждения при выполнении процентных расчетов весьма востребован в нашей повседневной жизни.

Интернет пестрит вопросами домохозяек:

А реализовать этот «проект» без помощи алгоритма Пирсона – дело не такое уж и простое:

Методика же, предлагаемая вашему вниманию, не вызовет затруднений в понимании и запоминании любой домохозяйки, а значит, достойна внимания.

6 / 64 = 3 / 32

400 – 37.5 = 362,5 (г) – воды

Ответ: нужно взять 37,5 г эссенции и 362,5 г. воды.

Еще одна реальная жизненная ситуация и методика рассуждения при ее разрешении, основанная на методе Пирсона.

Задача 3. Хозяйка пришла в ювелирную мастерскую принесла 2 кольца желтого золота 750 пробы весом по 3 грамма каждое и цепочку розового российского золота 585 пробы весом 5 грамм. Она попросила мастера сделать браслет дочери в подарок. Браслет золота какой пробы она получила?

(750 – х) – это 5 г

(х – 585) – это 6 г

(750 – х) 6 = (х – 585) 5

4500 – 6х = 5х – 2925

–11 х = 7425

х = 675

Ответ: 675 проба.

А эту проблему периодически решает практически каждая мама, пока не вырастит своего малыша. Да и фармацевту в аптеке наш алгоритм рассуждения может оказать весьма значительную услугу.

Задача 4. Ребенку назначили курс инъекций Цефтриаксона. Согласно инструкции 1 флакон цефтриаксона разводится в 1,8 мл 2 % раствора лидокаина. В аптеке удалось купить только 10 % лидокаин в ампулах по 2 мл. Сколько ампул воды для инъекций по 2 мл потребуется для получения нужной концентрации лидокаина?

Пусть х – количество мл воды для инъекций:

1 / 4 = 2 / x

х = 8 (мл)

8 : 2 = 4 (ампулы)

Ответ: 4 ампулы.

Парикмахеры по достоинству оценили данную методику. Поступали-то они на практике совершенно иначе.

Задача 5. Клиентка пришла в парикмахерскую и попросила мастера осветлить цвет ее волос на 2 тона и придать волосам каштановый тон. Профессиональный мастер оценил, что ее натуральный пигмент соответствует 5 ступени. При таких условиях, получить желаемый цвет и оттенок (7.43) возможно путем смешивания краски 7.43 и 9 % оксида в равных пропорциях, но, к сожалению, в салоне имелись краски только 5.43 и 8.43 и оксиды 12 % и 6 %. В каком соотношении нужно смешать имеющиеся краски и оксиды, чтобы получить желаемый результат?

Краска

Оксид

Ответ: требуется смешать 2 части краски 8.43 с 1 частью краски 5.43, а оксиды 12 % и 6 % – в отношении 1 : 1.

Мы привели в своей работе лишь несколько вариантов применения алгоритма Пирсона в бытовых жизненных ситуациях. Очевидно, что их существует великое множество. А значит, наш метод, при его популяризации, может получить широкое распространение.

Список литературы:

1. Википедия – свободная энциклопедия [Электронный ресурс] // Официальный сайт энциклопедии. URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/Заглавная_страница (дата обращения: 10.02.2016).
2. Колмогоров А.Н., Юшкевич А.П. (ред.). Математика XIX века. М.: Наука, 1978.
3. Пирсон К.. Грамматика науки. Перевод со 2-ого англ. изд. В. Базарова и П. Юшкевича, Спб.: «Шиповник» (библиотека современной философии, вып. 6), 1911.
4. Пирсон Карл. 3-е изд. М.: Советская энциклопедия, 1969.
5. «Решу ЕГЭ». Задача 11 [Электронный ресурс] // Образовательный портал для подготовки к экзаменам «Решу ЕГЭ» «reshuege.ru».  URL: http://reshuege.ru/test?theme=88 (дата обращения: 10.02.2016).
6. Ященко И.В., ЕГЭ, 3300 задач с ответами по математике, Все задания Закрытый сегмент, Профильный уровень, М.: Экзамен, 2015.
 
Приведенные в работе задачи – авторские.
 
Мнение редакции может не совпадать с мнением авторов.
Просмотров 1002