29 мая 2017

Евсеева А.А., Григорова О.Т., Зотова М.О. «Азбука графиков»: цикл проектных уроков, устанавливающих связь между коэффициентами формулы функции и видом ее графика

Евсеева А.А.,
учитель математики 
ГБОУ г. Москвы «Школа № 687»
 
Григорова О.Т.,
учитель математики 
ГБОУ г. Москвы «Школа № 687»
 
Зотова М.О.,
учитель математики 
ГБОУ г. Москвы «Школа № 687»

 

Функции и их графики изучаются в курсе алгебры, начиная с 7 класса. И, казалось бы, такой простой тип заданий, как задания на распознавание, с приходом ОГЭ не должен вызывать много трудностей у учеников. Однако, по статистике, выпускники 9 классов справляются с этими заданиями далеко не так успешно, как хотелось бы. Речь идет о номере 5 части «Алгебра» из ОГЭ.

Причины возникновения затруднений мы увидели в том, что каждая функция в курсе алгебры с 7 по 9 класс изучается отдельно, с большими временными перерывами между темами. И нет объединяющей линии, позволяющей рассматривать задания на нахождение связи между коэффициентами формул и видом графика, как метапредметное умение. Если проанализировать банк заданий по данной теме, мы увидим некоторую закономерность. Вне зависимости от вида функции и буквенного обозначения, коэффициенты несут одинаковую смысловую нагрузку. Так, например, свободный член в формуле отвечает за пересечение графика с осью у, а старший коэффициент за монотонность функции.

Чтобы красной линией провести работу с коэффициентами различных функций через весь курс алгебры до ОГЭ, мы разработали цикл уроков-проектов, идущих под одним названием «Азбука графиков». Каждый ученик на таком уроке проходит практически через все ступени абстрактно-логического метода научного исследования.

Абстрактно-логический метод исследования, приобретающий с развитием науки все большее значение, включает следующую совокупность научных приемов: индукции и дедукции, анализа и синтеза, аналогии, сопоставлений, системно-структурный прием, формализации, моделирования, прогнозирования. Подробнее о методах научного познания можно прочитать по ссылке, а о том, как абстрактно-логический метод исследования реализуется на уроке,  рассмотрим подробно в одной из таблиц.

Цикл уроков «Азбука графиков в 7-9 классах включает следующие темы:

1. «Линейная функция (начало 7 класса)»;

2. «Квадратичная функция вида у = (х – m)² + n (конец 7 класса, тема расширена специально под данный цикл уроков)»;

3. «Функция у=√х (8 класс)»;

4. «Функция у = ΙхΙ (8 класс)»;

5. «Функция у = к/х (8 класс)»;

6. «Квадратичная функция вида у = ах2+bx+c (8 класс)»;

7. «Степенная функция (9 класс)».

Каждый такой урок состоит из трех ступеней, на которых деятельность учеников в корне различна. На первой ступени ученик строит несколько (количество зависит от работоспособности ученика и сложности функции) графиков функции с различными коэффициентами. На второй ступени  в группе учеников классифицируются построенные графики, в зависимости от их вида, и собирается банк графиков в виде одной большой таблицы на класс. На третьей ступени ученик заполняет индивидуальную азбуку, в которой по виду графика он дает сравнительную характеристику коэффициентам функции.

Остановимся подробно на плане подготовки урока «Азбука графиков».

1. Работа по подготовке к уроку-проекту начинается с формулировки задания для групп. Пример такого задания для урока «Азбука графиков»:

Задание для групп

Заполнить «Азбуку графиков», установив связи между коэффициентами в формуле функции и видом её графика.

Инструкция

Для этого вам потребуется: распределить роли в группе; распределить каждому по одной функции с карточки, обращая внимание на уровень сложности. В тетради каждый пишет название функции, составляет таблицу для 2 точек, чертит систему координат с названием осей х и у, строит график, выписывает коэффициенты m и к. Контролер проверяет правильность заполнения таблицы и построения графиков. Каждый переносит свой график и формулу на маленький листочек по образцу. Листочек расположить горизонтально! Выложить все начерченные графики в центр стола. Определить по знаку коэффициентов в формуле, в какую часть плаката приклеить график. Приклеить график на плакат. Заполнить все колонки в «Азбуке графиков». Руководитель по эталону проверяет правильность заполнения «Азбуки графиков». Для домашнего задания взять карточку с «Банком функций» и доделать оставшиеся графики. Записать название функции, графика, выписать коэффициенты m и к.

2. Создается лист планирования и продвижения по заданию, который заполняет руководитель группы. Образец листа планирования и продвижения по заданию:

Лист планирования и продвижения по заданию

группы №________ 7 класса «____»

Дата:  
Тема урока  

Распределение

 ролей:

Руководитель:  
Контролер:  
Советник:  
Докладчик:  
Цель урока:  
 
Гипотеза:  
План урока:   Отметка о выполнении плана
     
     
     

 

3. Создается оценочный лист. 

Лист оценивания

Число:____________________Группа:_№______________Класс____________

Тема:______________________________________________________________

Список группы Роли Баллы за 1 график Баллы за роль в группе

Баллы за «Азбуку»

Всего баллов Оценка
2-5 1-3 0-5 13
1              
2              
3              
4              
5              

 

Критерии баллов за графики:

«5» – полностью правильно и самостоятельно заполнена таблица и построен график.

«4» – в самом начале получена подсказка, как надо делать, затем задание выполнено самостоятельно.

«3» – была вычислительная ошибка в таблице.

«2» – постоянно оказывалась помощь при заполнении таблицы и построении графика.

Критерии баллов за «Азбуку»:

«5» – правильно и самостоятельно определил все коэффициенты в «Азбуке графиков».

«4» – допущены 1–2 ошибки при определении коэффициентов в «Азбуке графиков».

«3» – допущены 3–4 ошибки при определении коэффициентов в «Азбуке графиков» «2» – постоянно пользовался помощью соседей.

«1» – коэффициенты не определены, но записаны формулы (или наоборот).

«0» – коэффициенты не определены, формулы не записаны.

Критерии баллов за «Роль»:

«3» – успешно выполнены все функции по роли от начала до конца работы.

«2» –  есть замечания по работе.

«1» – роль выполнена неудачно.

4. Учитель создает банк функций, графики которых будут строить дети на уроке.

Пример такого банка для урока «Азбука графиков линейной функции»:

1 группа 2 группа 3 группа 4 группа
у=2х+3 у=3х+2 у=х+4 у=4х+1
у= –2х+3 у= –3х+2 у= –х+4 у= –4х+1
у=2х–3 у= –3х-2 у=х–4 у= –4х-1
у=  –2х у=3х у= –х у=4х
у= 3 у= –2 у=4 у= –1

 

Банк функций включает в себя различные сочетания коэффициентов в формулах, что позволит потом собрать разнообразную коллекцию графиков.

Функций в банке может быть меньше или больше, в зависимости от количества учеников в классе и их работоспособности, а также от времени, выделенного на данный проект.

5. Создается, распечатывается и склеивается большая таблица для банка функций.

Пример такой таблицы для урока «Азбука графиков линейной функции»:

Банк графиков линейной функции y = kx + m
  m = 0 m ˃ 0 m ˂ 0

k = 0

     

k ˃ 0

     

k ˂ 0

     

 

6. Необходимо приготовить маленькие листочки в клетку, размером с четверть тетрадного листа. На них каждый ученик будет строить свой график и приклеивать его к общей таблице банка.

На фотографии представлено, как выглядит готовый банк графиков на примере темы «Функция у = IxI»:

7. Создается таблица самой азбуки графиков, которая выдается каждому ученику. Пример: см. ссылку.

8. Создается эталон заполненной азбуки графиков для проверки руководителем  по итогу урока. Пример: см. ссылку.

План проведения урока «Азбука графиков»

1. Класс разбивается на группы так, чтобы в одной группе было от 4 до 6 человек (группа более 6 и менее 4 участников малопродуктивна), причем в каждой группе должны быть ученики, способные выполнять функции руководителя, контролера, советника и докладчика.

Функционал участников группы

Руководитель – координирует работу группы,  отвечает за составление плана работы и следование  этому плану,  заполняет отчеты (лист планирования и продвижения по заданию), следит за временными рамками, оценивает правильность заполнения «Азбуки графиков» по эталону и выполнение роли в группе (а группа оценивает выполнение роли руководителем).

Контролер – контролирует полноценную работу каждого участника группы,  следит за записями и другими видами работы участников группы. Проверяет правильность  построенных графиков (если необходимо помогает исправить) и оценивает их. Собирает и сдает все нужные бумаги (тетради) в конце занятия.

Советник – может обратиться за помощью к преподавателю или участникам других групп. Приводит в порядок рабочий стол группы.

Докладчик – отвечает за теоретический материал. По результатам общих обсуждений в группе  и сделанных выводов готовит доклад. Представляет проект.

9. Учитель выдает пакет документов, в который входят:

– Задание для групп.

– Банк функций.

– Лист планирования и продвижения по заданию.

– Лист оценивания.

– Листочки для построения графиков.

– Листы «Азбука графиков».

– Учащиеся знакомятся с заданием. Обсуждают и формулируют цель и задачи урока.

Формулируют гипотезы о связи вида графиков и коэффициентов функции. Руководитель начинает заполнять лист планирования и продвижения по заданию.

1. Руководитель раздает задания из банка функций и участники группы приступают к построению графиков в тетради.

2. Контролер проверяет правильность построенных графиков, оценивает их и разрешает переносить график на листочек  в клетку по образцу в задании. Руководитель следит за временем и подгоняет отстающих.

3. Когда все графики проверены и перенесены на листочки по образцу, они выкладываются в центр стола, и группа приступает к их обсуждению, в результате которого учащиеся делают первичные выводы о зависимости вида графика от коэффициентов функции и решают в какую ячейку на плакате «Банка графиков» разместить свои чертежи.

4. Когда ученик подходит к таблице «Банка графиков», и ищет место для своего чертежа он может обнаружить, что его график не соответствует виду формулы (проанализировав другие чертежи) или не понимает куда его разместить. В этот момент у ученика есть возможность исправить свою ошибку и получить консультацию у одноклассников.

5. Когда плакат «Банк графиков» заполнен полностью учащиеся приступают к сводному анализу, по результатам которого заполняется «Азбука графиков». На этом этапе происходит совместное обсуждение основных закономерностей, выявляются раннее допущенные ошибки в гипотезах первичного обсуждения.

6. После совместного обсуждения участники групп приступают к заполнению листов «Азбуки графиков», в которой по виду графика восстанавливают название функции, и знаки коэффициентов к и т. Руководитель по эталону, предоставленному учителем, проверяет правильность заполнения «Азбуки» и выставляет оценки в оценочный лист.

7. По результатам общих обсуждений в группе  и сделанных выводов докладчик готовит речь и проводит защиту проекта.

8. Учитель подводит итоги и дает краткую оценку работы групп.

9. На следующем уроке целесообразно провести  проверочную работу по данной теме. Пример проверочной работы:

На рисунках изображены графики функции вида у=кх+т. Установите соответствие между графиками и коэффициентами к и т.

            

1) к˃0,  т˃0;

2) к˂0,  т=0;

3) к˂0,  т˂0;

4) к˃0,  т˂0.

Аналогичные задания можно найти в сборнике подготовки к ОГЭ.

План проведения урока с примерами на основе темы «Линейная функция»

Номер этапа Название этапа Что делает учитель Что делают ученики
1 Организационный Выдает пакет документов группам Распределяют роли в группе
2 Знакомство с заданием   Читают задание для групп
3 Целеполагание и планирование Направляет и корректирует Формулируют цель и задачи
4 Построение графиков Контактирует с советниками по необходимости Строят графики в тетради и после проверки контролером переносят на листочек в клетку по образцу
5 Первичный анализ зависимости вида графика от коэффициентов Контактирует с советниками по необходимости Просматривают все графики, полученные в группе, и совместно решают, где разместится каждый график на плакате «Банк графиков». Приклеивают листочки с графиками в нужную ячейку плаката.
6 Сводный анализ   По заполненному плакату «Банк графиков линейной функции» в результате совместных обсуждений, делают окончательный вывод о влиянии коэффициентов к и т на вид графика ( на монотонность, на угол наклона с положительным направлением оси Ох, на точку пересечения с осью Оу.
7 Рефлексия 1 В конце этапа выдает руководителю группы эталон для проверки правильности заполнения «Азбуки графиков» Заполняют «Азбуку графиков» в которой по виду графика восстанавливают формулу функции, название функции, знак коэффициентов к и т, либо их отсутствие.
8 Рефлексия 2. Защита проекта Руководит прениями, задает вопросы для уточнения, высказывает свое мнение о качестве проделанной работы. Докладчик озвучивает выводы группы о влиянии коэффициентов функции на вид её графика и предполагает наличие аналогичных зависимостей у других функций.

 

Сопоставление этапов урока с научными приемами абстрактно-логического метода исследования

Номер этапа Название этапа Название приема Определение приема
1 Организа-ционный    
2 Знакомство с заданием Гипотеза Гипотеза- положение, выдвигаемое в качестве предварительного, условного объяснения некоторого явления.
3 Целепо-лагание и плани-рование    
4 Построе-ние графиков    
5 Первичный анализ зависимости вида графика от коэффициентов Анализ и синтез, сопоставление, аналогия

Анализ - представляет собой мысленное разложение или расчленение процессов на составляющие части, элементы с целью определения их места, роли и функций в целом объекте и установления взаимосвязи и взаимозависимости между ними. Анализ - это сложный исследовательский процесс, включающий не только изучение сущности явлений и закономерностей их развития, но и использование полученных выводов в практике. Синтез - это мысленное составление целостного объекта из его частей. Анализ и синтез выступают в аналитическом процессе в их единстве. Без анализа нет синтеза, как синтеза без анализа. Вместе взятые они служат мощным средством познания. Аналитические материалы помогают вскрыть не только поверхностные явления, внутреннюю структуру объекта, но и вскрыть глубинные процессы, дать развернутую характеристику объекта явления.

Сопоставление - это прием, при котором выявляются различия во вновь сформулированных категориях с ранее установленными.

Аналогия - это прием научного познания, когда на основе сходства двух или нескольких признаков изучаемого явления делается вывод о сходстве других признаков и свойств. Для повышения достоверности выводов необходимо, чтобы аналогия базировалась на большом количестве существенных общих признаков и связи между ними были довольно тесными. Установление взаимосвязи с помощью приема аналогии требует дополнительной проверки в общественной практике (с помощью логических выводов или специального опыта).

6 Итоговый анализ Индукция Индукция (наведение) представляет собой способ изучения явления, в процессе которого от отдельных фактов, единичных случаев совершается переход к общим положениям, к обобщениям и утверждениям. При таком логическом умозаключении отдельные факты как бы наводят на общее положение.
7 Рефлексия 1 Сопоставление, формализация, дедукция

Сопоставление - это прием, при котором выявляются различия во вновь сформулированных категориях с ранее установленными.

Формализация. Суть этого приема состоит в том, что при изучении исследователь отвлекается от конкретного содержания изучаемых явлений, рассматривает их в правильном общем виде, исходя из законов диалектической логики. Поэтому обобщенная сущность явления всегда представляет собой определенный уровень формализации. Из существа этого приема вытекает использование при научных разработках логических выводов и обоснований, различных схем, формул, символики, абстрактно-логико-математических и знаковых моделей и т.д. 

Дедукция - логическое умозаключение на основе перехода от общих суждений (доказательств) к частным.

8 Рефлексия 2. Защита проекта Моделирование, прогнозирование

Моделирование - это прием научной абстракции, при котором на основании проведенного системно-структурного анализа формируется модель, которая отражает математическую закономерность в целом со всеми свойствами и взаимосвязями.

Прогнозирование - это аргументированное представление о возможных путях развития изучаемого явления.

 

В заключении хочется сказать, что значительные затраты учителя на подготовку и проведение таких уроков окупаются тем, что каждый ученик создает для себя целостную картину о взаимосвязи коэффициентов различных функций и видом их графиков, глубоко погружается в данную тему, проходит хорошую школу абстрактно-логического метода исследования. А также, такие глобальные системы уроков активизируют память, внимание, абстрактное мышление. А если говорить о развитии метапредметных умений на таких уроках, то можно написать ещё одну статью.

Мнение редакции может не совпадать с мнением авторов.

Просмотров 358